Chứng minh rằng hàm số :
\(y=signx=\left\{{}\begin{matrix}1,\left(x>0\right)\\0,\left(x=0\right)\\-1,\left(x< 0\right)\end{matrix}\right.\)
không có đạo hàm tại \(x=0\)
Chứng minh rằng hàm số :
\(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2;\left(x\ge0\right)\\-x^2;\left(x< 0\right)\end{matrix}\right.\)
Không có đạo hàm tại điểm \(x=0\) nhưng có đạo hàm tại điểm \(x=2\)
Ta có f(x) = (x – 1)2 = 1 và f(x) = (-x2) = 0.
vì f(x) ≠ nên hàm số y = f(x) gián đoạn tại x = 0, do đó hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0.
Ta có = = (2 + ∆x) = 2.
Vậy hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x = 2 và f'(2) = 2.
Chứng minh rằng hàm số :
\(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}-2x;\left(x\ge0\right)\\\dfrac{\sin x}{2};\left(x< 0\right)\end{matrix}\right.\)
không có đạo hàm tại \(x=0\) nhưng đạt cực đại tại điểm đó.
cho hàm số \(y=\left\{{}\begin{matrix}2ax+1,x\le0\\x^2+ax+1,x>0\end{matrix}\right.\). Tìm a để hàm số có đạo hàm tại \(x=0\)?
Để hàm số có đạo hàm tại 1 điểm thì nó phải liên tục tại điểm đó đồng thời đạo hàm trái bằng đạo hàm phải
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\left(2ax+1\right)=1\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\left(x^2+ax+1\right)=1\)
\(\Rightarrow\) Hàm liên tục tại \(x=1\)
\(y'\left(0^+\right)=2a\)
\(y'\left(0^-\right)=\left(2x+a\right)_{x=0^-}=a\)
Hàm có đạo hàm tại x=0 \(\Leftrightarrow2a=a\Leftrightarrow a=0\)
2. Gía trị của a để các hàm số \(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}x+2a\left(khix< 0\right)\\x^2+x+1\left(khix\ge0\right)\end{matrix}\right.\)liên tục tại x=0
3. Chứng minh phương trình \(x^4-x-2=0\) luôn có nghiệm thuộc khoảng (1;2)
2.
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\left(x+2a\right)=2a\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\left(x^2+x+1\right)=1\)
Hàm liên tục tại \(x=0\Leftrightarrow\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)\)
\(\Leftrightarrow2a=1\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}\)
3. Đặt \(f\left(x\right)=x^4-x-2\)
Hàm \(f\left(x\right)\) liên tục trên R nên liên tục trên \(\left(1;2\right)\)
\(f\left(1\right)=-2\) ; \(f\left(2\right)=12\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)=-24< 0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (1;2)
Hay pt đã cho luôn có nghiệm thuộc (1;2)
Cho hàm số :
\(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}x^2\sin\dfrac{1}{x},\left(x\ne0\right)\\A,\left(x=0\right)\end{matrix}\right.\)
Xác định A để \(f\left(x\right)\) liên tục tại \(x=0\). Với giá trị A tìm được, hàm số có đạo hàm tại \(x=0\) không ?
\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\left|f\left(x\right)\right|=\lim\limits_{x\rightarrow0}\left|x^2sin\dfrac{1}{x}\right|< \lim\limits_{x\rightarrow0}\left|x^2\right|=0\).
Vậy \(\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left(x\right)=0\).
\(f\left(0\right)=A\).
Để hàm số liên tục tại \(x=0\) thì \(\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left(x\right)=f\left(0\right)\Leftrightarrow A=0\).
Để xét hàm số có đạo hàm tại \(x=0\) ta xét giới hạn:
\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{x^2sin\dfrac{1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}xsin\dfrac{1}{x}=0\).
Vậy hàm số có đạo hàm tại \(x=0\).
\(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}\left(x\ne0\right)\\2x+m+1\left(x=0\right)\end{matrix}\right.\)
tìm m để hàm số liên tục tại x=0
\(f\left(0\right)=2.0+m+1=m+1\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{x+1-1}{x(\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2}+\sqrt[3]{x+1}+1)}=\dfrac{1}{1+1+1}=\dfrac{1}{3}\)\(f\left(0\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)\Leftrightarrow m+1=\dfrac{1}{3}\Rightarrow m=-\dfrac{2}{3}\)
\(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}\left(x>0\right)\\mx^2+2m+\dfrac{1}{4}\left(x\le0\right)\end{matrix}\right.\) (m là tham số). tìm m để hàm số liên tục tại x=0
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{x}{x\left(\sqrt{x+4}+2\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{1}{\sqrt{x+4}+2}=\dfrac{1}{4}\)
\(f\left(0\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\left(mx^2+2m+\dfrac{1}{4}\right)=2m+\dfrac{1}{4}\)
Hàm liên tục tại x=0 khi: \(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=f\left(0\right)\)
\(\Leftrightarrow2m+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow m=0\)
cho hàm số f(x)=\(\left\{{}\begin{matrix}x^2\\-x^3+bx+c\end{matrix}\right.\)\(\dfrac{khix\le0}{khix>0}\) có đạo hàm tại điểm x0=0 tính tổng c+2b
Hàm có đạo hàm tại \(x=0\) khi nó liên tục tại \(x=0\) và có đạo hàm trái bằng đạo hàm phải tại 0
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\left(-x^3+bx+c\right)=c\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}x^2=0\)
\(\Rightarrow c=0\)
\(f'\left(0^-\right)=2x_{x\rightarrow0^-}=0\)
\(f'\left(0^+\right)=\left(-3x^2+b\right)_{x\rightarrow0^+}=b\)
\(\Rightarrow b=0\Rightarrow b=c=0\)
Vẽ đồ thị các hàm số :
a. \(y=\left\{{}\begin{matrix}2x;\left(x\ge0\right)\\-\dfrac{1}{2}x;\left(x< 0\right)\end{matrix}\right.\)
b. \(y=\left\{{}\begin{matrix}x+1;\left(x\ge1\right)\\-2x+4;\left(x< 1\right)\end{matrix}\right.\)